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Qu'est-ce que les pommes de pin et les lapins ont en commun ?

La nature regorge de nombreux trésors cachés aux histoires marquantes. Prenez par exemple une pomme de pin : à première vue, il s'agit d'un tas de petites écailles, mais il faut parfois regarder plus loin que le bout de son nez... Vous y découvrirez des motifs surprenants qui feraient ronronner les mathématiciens de plaisir. Pour les autres, elle renferme simplement une anecdote à raconter lors d'une soirée automnale. Soyez prêt pour le clash ultime entre les maths et la nature !

Mais d'abord : les lapins !

Avant de continuer sur le sujet des pommes de pin, il nous faut d'abord expliquer le phénomène mathématique à l’œuvre ici. Ne partez pas maintenant, nous vous promettons que notre histoire sera intéressante, car nous allons faire appel à votre imagination en vous emmenant dans une forêt qui ne compte aucun habitant, sauf un couple de jeunes lapins.

 

À l'âge d'un mois, le couple est sexuellement mature et se reproduit à la vitesse de l'éclair (en réalité, nos amis à grandes oreilles ont besoin d'un peu plus de temps, mais nous sommes dans un monde fantastique où la forêt a ses propres règles). Un mois plus tard, un nouveau duo vient au monde. La forêt compte maintenant deux couples de lapins ; le premier est déjà prêt à remettre le couvert, tandis que le second doit encore attendre un mois avant de contribuer à cette expérience unique.

Les règles sont claires :

  • chaque couple adulte met au monde un nouveau couple (m+f) chaque mois
  • les nouveaux couples sont sexuellement matures à l'âge d'un mois
  • la gestation dure un mois
  • il y a assez de nourriture pour subvenir aux besoins de tous les lapins
  • aucun lapin ne meurt (quel monde fantastique !)

Et voici notre problème : combien de couples de lapins sautilleront gaiement dans les bois après 5 mois ? Et après 10 mois ? Ou même après 69 mois ?

La réponse fut formulée en 1202 par Fibonacci, un mathématicien italien qui répondait aussi au nom de Leonardo de Pise. Il créa une suite de nombre qui commençait par deux fois le chiffre 1. Tous les nombres suivants formaient la somme des deux précédents :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …

Cette suite vous permet de deviner en un coup d’œil combien de lapins vivront dans notre forêt fictive dans un nombre de mois déterminé. Durant les mois 1 et 2, seul notre couple originel est présent. Au troisième mois, la forêt compte deux couples, dont un est déjà fertile, c'est pourquoi vous ne verrez encore que 12 oreilles dépasser des hautes herbes au mois 4 (3 couples donc). À partir du cinquième mois, les choses s'accélèrent (5 couples) et 55 duos se partagent la forêt au dixième mois. Encore 10 mois plus tard, les bois abriteront 6765 (fois 2) petites queues blanches.

Et les pommes de pin dans tout ça ?

Si cette expérience fait briller les yeux des mathématiciens, les amoureux de la nature ne sont pas dupes. En amour, les lapins sont tout sauf difficiles et la polygamie poussée à l'extrême est même leur marque de fabrique. De plus, il y a peu de chances qu'un couple ne donne naissance qu'à 2 lapereaux par portée et que ceux-ci soient justement un mâle et une femelle, mais il existe des circonstances dans lesquelles réalité et fiction pardon, mathématiques – se rejoignent.

Il est à présent temps de développer le sujet des pommes de pin dont nous parlions plus tôt. Observez le dessous de votre découverte et comptez le nombre de spirales formées par les écailles. Nous parions que vous en trouverez 13 ! Si ce n'est pas le cas, c'est qu'il y en a 8 – soit deux nombres qui se suivent dans la suite de notre ami des lapins Fibonacci. Comptez maintenant le nombre de spirales qui vont dans l'autre sens, et vous tomberez certainement sur l'autre nombre mentionné ci-dessus. Les écureuils qui tournent leur pomme de pin vers la gauche auraient-ils raison?

Coïncidence ? Non ! Ces nombres issus de la suite de Fibonacci sont omniprésents au sein de notre nature. Le nombre de pétales des fleurs renvoie par exemple très souvent (mais pas toujours) à l'un des nombres de cette célèbre suite. Les boutons d'or en comptent 5, les pâquerettes 21 ou 34. Vous pensez toujours que le hasard fait bien les choses ? Comptez alors les graines de tournesol. À l'instar des pommes de pin, elles tournent dans deux directions mais sont beaucoup plus nombreuses : 34 + 55. Nous n'inventons rien ! Le hasard n'existe pas !

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